Expérimentalement
Fluide s'écoulant dans une conduite cylindrique
Par exemple, cas d'un tuyau transportant de la vapeur d'eau, à l'intérieur duquel ruisselle de l'eau produite par condensation de la vapeur, qui échange de la matière avec la vapeur circulant dans le tube :
Écoulement laminaire :
Écoulement turbulent :
Fluide s'écoulant parallèlement à une paroi plane
La dimension caractéristique du système d est la longueur de la paroi.
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Fluide s'écoulant autour d'une sphère isolée
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La longueur à prendre en considération pour
et
est le diamètre de la sphère d.
On obtient un coefficient k moyen sur la surface de la sphère.
L'étude des transferts entre un liquide et des bulles peut être faite à l'aide de cette relation. Il faut cependant prendre en compte certains facteurs perturbateurs, par exemple l'influence des agents de surface.
Particules sphériques en suspension dans un liquide agité
et
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où
est le diamètre des particules, intervenant également comme longueur caractéristique dans
,
est la puissance d'agitation par kg de masse totale agitée et
est la viscosité cinématique du liquide.
Cette expression convient également pour des particules non-sphériques, mais qui sont convexes. Dans ce cas, d sera pris égal au diamètre d'une sphère de même volume que la particule.
Transfert en convection libre
Le moteur du mouvement est la différence de masse volumique provoquée par la différence de concentration en soluté du fluide.
et
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où
est le nombre de Grashoff :
Transferts de matière non stationnaire
Dans certaines situation, le transfert de matière peut être non stationnaire : par exemple lorsque la concentration de la solution mère varie dans le temps. C'est donc le cas pour les procédés discontinus (batch).
Exemple :
Saumurage d'un jambon
Mode batch : on met le jambon en contact avec un volume donné de saumure. A mesure que le sel diffuse à l'intérieur du jambon, la saumure s'appauvrit en sel, donc sa concentration diminue au cours du temps. Dans l'écriture du gradient de concentration, la concentration de la saumure diminue à chaque instant.
Mode continu : on met le jambon en contact avec une saumure qui circule en continu (sans cesse renouvelée). La saumure a concentration en sel fixe dans le temps.
En régime non stationnaire, la variation de la concentration en point donné en fonction du temps est :
(sans réaction chimique)
La solution de cette équation dépend de la géométrie du solide (aliment) et des conditions aux limites (à la surface de l'aliment).
Le temps nécessaire pour que la concentration en un point donné du solide (au centre de l'aliment par exemple) atteigne une valeur cible peut être calculée par :
où :
: paramètre caractérisant le transfert de matière ("vitesse" du transfert : temps requis pour obtenir une variation d'1 log dans le gradient de concentration) (s)
: paramètre caractérisant le transfert de matière
: concentration du composé dans le fluide environnant l'aliment (kg.m-3)
: concentration initiale du composé au point considéré dans l'aliment (kg.m-3)
: concentration du composé au point considéré dans l'aliment au temps t (kg.m-3) (valeur cible)
Les valeurs de
et
sont à chercher dans des tables en fonction du nombre de Biot (
), qui représente le ratio entre la résistance au transfert de matière fluide-solide et la résistance au transfert de matière à l'intérieur du solide. Le nombre
est défini comme suit dans le cadre du transfert de matière (autre expression en transfert de chaleur) :
où :
: coefficient de transfert de matière par convection entre le fluide et le solide (m.s-1)
: demi-épaisseur du solide (m)
: diffusivité du composé dans le solide (m².s-1)
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0,1 | 0,99979 | 23,79881 |
1 | 0,98609 | 3,11090 |
10 | 0,87431 | 1,12780 |
100 | 0,81848 | 0,95195 |
∞ | 0,81057 | 0,93320 |
L'équation précédente peut être écrite avec des pressions partielles lorsqu'on travaille avec un gaz, ou encore avec l'activité de l'eau (définie comme pression partielle de vapeur d'eau) :
Cette dernière expression avec l'activité de l'eau peut être utilisée pour prédire l'activité de l'eau au cœur d'un aliment (biscuit par exemple) suite à un entreposage dans un environnement ayant une activité de l'eau (humidité) connue (prédiction de la durée de vie d'un aliment sec ou peu humide).
